本科课程辅导

数据的爆炸性增长使得企业必须使用正确的分析工具来有效利用可用数据。 本课程旨在为学生提供一系列有效决策所需的工具和技术。主要内容包括规范性分析(如线性优化、非线性优化和蒙特卡罗模拟)和预测性分析(如预测、逻辑回归、分类和回归树)。 特别关注这些工具和技术在国际贸易、营销、供应链和战略等职能领域的潜在应用。本文主要阐述了规范性分析中的线性规划。

一、概述

在数学中，线性规划是一种在一定约束条件下优化运算的方法。线性规划的主要目标是最大化或最小化数值。它由线性函数组成，其中的约束条件以线性方程或不等式的形式实现。线性规划被认为是一种重要的技术，用于寻找资源的最佳利用方式。线性规划 "一词由两个词组成：线性和规划。线性 "一词描述了几个一阶变量之间的关系。编程 "一词描述了从多个备选方案中选择最佳解决方案的过程。

线性规划广泛应用于数学和许多其他领域，如经济学、商业、电信和制造业。本文将介绍线性规划的定义、其组成部分以及解决线性规划问题的各种方法。

二、什么是线性规划?

线性规划(LP)或线性优化可定义为最大化或最小化一个线性函数的问题，该函数应用了线性约束。约束条件可以是等式或不等式。优化问题涉及损益计算。 线性规划问题是一类重要的优化问题，有助于找到可行性区域并优化解决方案，以获得函数的最大值或最小值。

换句话说，线性规划被认为是一种优化技术，可以最大化或最小化数学模型的目标函数，并将一系列要求以线性关系表示。线性规划问题的主要目标是找到最优解。

线性规划是一种研究与给定情况相关的各种不等式，并计算在给定条件下获得的最佳值的方法。在使用线性规划时，需要做出以下假设：

约束条件的数量必须量化。

约束条件和目标函数之间必须是线性关系。

必须优化线性函数(即目标函数)。

三、线性规划的组成部分

线性规划的基本组成部分如下：

决策变量。

约束条件。

数据。

对象函数。

四、线性规划的特点

以下是线性规划问题的五个特点：

约束条件 - 必须以数学形式表达与资源相关的约束条件。

目标函数 - 在问题中，目标函数必须以定量形式指定。

线性 - 函数中两个或多个变量之间的关系必须是线性的。这意味着变量的度数为一。

有限性--输入和输出的数量必须有有限和无限之分。如果函数有无限个因子，就不可能得到最优解。

非负值 - 变量的值必须为正或零。不能为负值。

决策变量 - 决策变量将决定结果。它提供了问题的最终解决方案。对于任何问题，第一步都是确定决策变量。

五、线性规划问题

线性规划问题(LPP)是一个寻找给定线性函数最优值的问题。最优值可以是最大值，也可以是最小值。这里，给定的线性函数被视为目标函数。目标函数可以包含许多变量，这些变量受条件限制，必须满足一组称为线性约束条件的线性不等式。线性规划问题可用于寻找以下情况的最优解，如生产问题、食品问题、运输问题、分配问题等。

六、线性规划的单纯形法

单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。它是一种获得最佳可行解的迭代程序。在这种方法中，基本变量的值不断变换，以获得目标函数的最大值。简单线性规划法的算法如下所示：

步骤 1：定义给定问题。定义给定问题(即)，写出不等式约束和目标函数。

第 2 步： 在每个不等式表达式中加入弱化变量，将给定的不等式转换为方程。

步骤 3：创建原始简单矩阵。将目标函数写在最下面一行。在这里，每个不等式约束都独立成行。现在，我们可以将问题表示为一个增强矩阵，即原始单纯形矩阵。

步骤4：确定最下面一行中最大的负条目，这有助于确定旋转列。底行中最大的负项决定了目标函数中最大的系数，这将有助于我们尽快增加目标函数的值。

步骤 5：计算商。要计算系数，我们需要用最右边一列的条目除以第一列的条目，但最下面一行除外。系数最小者决定顺序。本步骤中确定的行和本步骤中确定的项将被视为轴项。

步骤 6：旋转，使该列中的所有其他项为零。

步骤 7：如果最下面一行没有负数项，则结束该过程。否则，从第 4 步开始。

步骤 8：最后，确定与最终单纯形表格相关的解。

七、图形方法

图解法用于优化二元线性规划。如果问题有两个决策变量，图解法就是找到最优解的最佳方法。在这种方法中，对一组不等式施加约束。然后在 XY 平面上绘制这些不等式。在 XY 平面上绘制所有不等式后，交叉区域有助于确定可行区域。可行区域不仅提供了最优解，还描述了我们的模型可能取的所有值。

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