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中心极限定理依赖于抽样分布的概念，抽样分布是从总体中抽取大量样本后统计量的概率分布。中心极限定理表明，如果从一个总体中抽取足够大的样本，即使总体不是正态分布的，样本的均值也将呈正态分布。

1.理解抽样分布

中心极限定理依赖于抽样分布的概念，它是从总体中抽取的大量样本的统计量的概率分布。通过想象一个实验，你可以更好地理解抽样分布：

假设你从一个总体中随机抽取一个样本并计算样本的统计量，比如均值。现在你再次随机抽取相同大小的另一个样本，并再次计算均值。你重复这个过程很多次，最终得到很多均值，每个样本对应一个均值。样本均值的分布是抽样分布的一个例子。

中心极限定理说，只要样本大小足够大，均值的抽样分布将始终呈正态分布。无论总体是正态分布、泊松分布、二项分布还是其他任何分布，均值的抽样分布都将是正态的。

正态分布是一种对称的钟形分布，离分布中心越远的观测值越少。

2.中心极限定理公式

幸运的是，你不需要实际反复抽样总体来了解抽样分布的形状。抽样分布的均值和标准差由总体的参数决定：

抽样分布的均值等于总体的均值。

抽样分布的标准差等于总体的标准差除以样本大小的平方根。

我们可以用以下公式来描述均值的抽样分布：

其中：

X̄ 是样本均值的抽样分布 ~ 表示“遵循分布” ，N 是正态分布， µ 是总体的均值， σ 是总体的标准差， n 是样本大小。

3.样本大小和中心极限定理

样本大小(n)是从总体中抽取的每个样本的观察数量。样本大小对所有样本都是相同的。样本大小以两种方式影响均值的抽样分布。

(1)样本大小和正态性样本

大小越大，抽样分布越接近正态分布。当样本大小较小时，均值的抽样分布有时是非正态的。这是因为只有在样本大小足够大时，中心极限定理才成立。

按照惯例，我们认为样本大小为30时足够大。

当n < 30时，中心极限定理不适用。抽样分布将与总体的分布类似。因此，只有在总体正态时，抽样分布才是正态的。

当n ≥ 30时，中心极限定理适用。抽样分布将近似于正态分布。

(2)样本大小和标准差

样本大小影响抽样分布的标准差。标准差是分布的变异性或扩散程度的度量(即它有多宽或多窄)。

当n较小时，标准差较大。样本均值的扩散很大，因为它们不是总体均值的精确估计。

当n较大时，标准差较小。样本均值的扩散很小，因为它们是总体均值的精确估计。

4.中心极限定理的条件

中心极限定理表明，在以下条件下，均值的抽样分布将始终遵循正态分布：

样本大小足够大。通常，如果样本大小为n ≥ 30，则满足此条件。

样本是独立且相同分布的随机变量。通常，如果抽样是随机的，则满足此条件。

总体的分布具有有限方差。中心极限定理不适用于具有无限方差的分布，如柯西分布。大多数分布具有有限方差。

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